En el mundo existen tres tipos de personas: las que saben contar y las que no.

En el mundo existen tres tipos de personas: las que saben contar y las que no.

Aquí va mi pequeña aportación a la comunidad de Chess24 que tanto nos ha dado durante esta cuarentena: matemáticas para principiantes, aprendiendo a contar.  

Seguro que si os pregunto si sabéis contar todos me diréis que sí, incluso quizá haya alguno que se ofenda, al fin y al cabo contar es algo muy básico, ¿no? Ciertamente puede parecerlo, y es precisamente por eso por lo que le quitamos importancia, dejamos de practicar y nos olvidamos del potencial que puede llegar a tener. De nuevo, si os pregunto si seríais capaces de contar hasta 1000, la mayoría me diréis que sí pero, ¿cómo estáis tan seguros? ¿lo habéis hecho alguna vez? Bueno bajemos un poco la cifra, qué tal hasta 10 ¿podríais? esta vez está claro, no hay duda, ¡por supuesto que sí! Sin embargo, una pregunta cauta podría ser: ¿desde dónde? Si ahora os digo que desde el -99 990, posiblemente cambiaréis de opinión. No obstante, otra pregunta interesante también podría ser: ¿de cuánto en cuánto? La verdad es que de 1000 en 1000 parece asequible ¿no?, siempre eso sí, que se trate de contar hacia delante... Lo cierto es que hay muchas formas de contar, un lingüista te dirá que es sinónimo de enumerar, mientras que un matemático te hablará de hashtags y cardenales ordinarios. En este post os voy a compartir una pregunta interesante que me hicieron hace un par de días y que no es muy complicada, pero solo si sabes contar. 

Si colocamos al azar una dama y un caballo en un tablero de ajedrez, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las piezas ataque a la otra? 

En este problema en particular la probabilidad se puede calcular como el número de casos favorables dividido entre el número de casos posibles, sabiendo esto lo demás solo es contar :) 

¡Os reto a que lo intentéis!


Bueno, como diría Jack el Destripador, vayamos por partes. 

Dado que la probabilidad en este caso comentábamos que se podía calcular como lo hacía Pedro Simón, esto es, (nº casos favorables / nº casos posibles), necesitaremos contar dos cosas: el número de casos favorables y el número de casos posibles. Vamos a ello.

1. Casos posibles: 

Los casos posibles son precisamente eso, todas las formas posibles de colocar una dama y un caballo en un tablero de ajedrez. ¿De cuántas formas se puede hacer esto? pues bien, si primero intentamos colocar una de las piezas veremos que tenemos 64 opciones posibles, esto es, en cualquier casilla del tablero. Supongamos que decidimos colocar una pieza, la dama o el caballo da igual cuál, en la casilla a1, entonces la otra podríamos colocarla en a2, o en a3, o en a4... o en cualquiera de las 63 casillas que faltan. Si en vez de en a1 ponemos la primera pieza en a2, ahora la segunda pieza la podríamos poner en a1, o en a3, o en a4, o de nuevo en cualquiera de las 63 casillas libres. Podemos repetir este proceso colocando la primera pieza en cada una de las 64 casillas del tablero y en cada ocasión tendremos 63 opciones para colocar la segunda pieza. Si vamos contando todas las posibilidades serían 63 para a1 otras 63 para a2 otras 63 para a3... y así hasta h8, es decir 64 veces 63, que son 4032, y ojo que nadie está multiplicando eh, ni mucho menos estamos calculando variaciones de 64 elementos tomados de 2 en 2... Estamos contando, contando de 63 en 63, ¿cuántas veces? 64. Perfecto, pues ya tenemos todos los casos posibles, son 4032

2. Casos favorables:

Los casos favorables son, de entre los posibles, solo aquellos que cumplen con la condición que nos dan, es decir, de entre todas las formas de colocar una dama y un caballo en el tablero, solo aquellas en las que al menos una pieza ataca a la otra. De esta forma, tendremos que contar aquellas posiciones en las que la dama ataca al caballo y aquellas en las que el caballo ataca a la dama, pero además tendríamos que descontar aquellas posiciones en las que la dama ataca al caballo y a la vez el caballo ataca a la dama puesto que estas las estaríamos contando dos veces, y ojo que nadie está hablando de restar eh, estamos descontando, o mejor dicho, contando hacia atrás. Pues bien, vamos a ello.

     2.1. Posiciones en las que la dama ataca al caballo: 

Esto consistirá básicamente en contar cuántas casillas ataca la dama para cada una de las 64 casillas en las que podemos situarla. Por ejemplo, si la dama está en a1, de las 63 casillas en las que podría encontrarse el caballo, este quedará atacado solo en 21 de ellas, concretamente en las 21 casillas que ataca la dama desde a1.  


La dama en a1 ataca 21 casillas


Siguiendo con este procedimiento para todas las casillas, conseguiremos nuestro objetivo, y como además sabemos contar, esto no nos llevará apenas tiempo. Una reflexión interesante es que si la pongamos donde la pongamos es imposible que la dama ataque solo a una casilla, entonces hay al menos dos casillas diferentes en las que la dama ataca el mismo número de casillas. Y de nuevo solo estamos contando eh, nada de dicharacheros ni palomas. Bien, pues con esta idea presente trataremos de localizar esas casillas que son "lo mismo" para que en vez de contar de uno en uno, podamos contar de "lo mismo" en "lo mismo". 

En primer lugar, podemos observar que el número de casillas atacadas en horizontal y en vertical es igual en cualquier parte del tablero (algo que por cierto podría explicar muchas cosas sobre la torre) por lo que tendremos que fijarnos solo en las diagonales. Como podemos ver en el diagrama, la dama en a1 ataca 7 casillas diagonales, número que se mantiene constante a medida que vamos subiendo por a2, a3 y a4, ya que las casillas que se descuentan reduciendo una diagonal se recuentan aumentando otra.  


Diagonales de la dama en a1

Diagonales da la dama en a2

Diagonales de la dama en a3

Diagonales de la dama en a4








Parece entonces claro que en a1, a2, a3 y a4 el número de casillas atacadas por la dama es el mismo, y de hecho, como dicho número no va a cambiar por girar el tablero o por mirarlo a través de un espejo, parece claro también que podemos considerar en este grupo a todas las casillas del "borde".


Casillas a1, a2, a3, a4 y sus rotaciones de 90º

Imágenes especulares de a1, a2, a3, a4 y sus rotaciones

Casillas en las que la dama ataca 21 casillas









De esta forma, contando el número de casillas que ataca la dama en b2, c3, y d4, y razonando de manera análoga, rápidamente podemos llegar a la conclusión de que en el tablero pueden diferenciarse 4 tipos de casillas en base a este criterio. 


4 tipos de casillas para la dama


 28 casillas verdes desde las que la dama ataca 21 casillas.

 20 casillas azules desde las que la dama ataca 23 casillas.

 12 casillas amarillas desde las que la dama ataca 25 casillas.

  4 casillas rojas desde las que la dama ataca 27 casillas. 




Recapitulando: 

Si estuviera la dama en a1, hay 21 posiciones en las que el caballo quedaría atacado, y esto ocurre en cada una de las casillas verdes, si las contamos serían 28 veces 21, esto es 588.

Si estuviera la dama en b2, hay 23 posiciones en las que el caballo quedaría atacado, y esto ocurre en cada una de las casillas azules, si las contamos serían 20 veces 23, esto es 460.

Si estuviera la dama en c3, hay 25 posiciones en las que el caballo quedaría atacado, y esto ocurre en cada una de las casillas amarillas, si las contamos serían 12 veces 25, esto es 300.

Si estuviera la dama en d4, hay 27 posiciones en las que el caballo quedaría atacado, y esto ocurre en cada una de las casillas rojas, si las contamos serían 4 veces 27, esto es 108.

En total serían 1456 posiciones en las que la dama ataca al caballo, y ojo que no estoy sumando eh, estoy contando hacia delante. 

     2.2. Posiciones en las que el caballo ataca a la dama: 

Esto consistirá básicamente en contar cuántas casillas ataca el caballo para cada una de las 64 casillas en las que podemos situarlo. Por ejemplo, si el caballo está en a1, de las 63 casillas en las que podría encontrarse la dama, esta quedaría atacada en 2 de ellas, concretamente en b3 y en c2, las 2 casillas que ataca el caballo desde a1.  


El caballo en a1 ataca dos casillas


Siguiendo con este procedimiento para todas las casillas, conseguiremos nuestro objetivo, y como además sabemos contar, ahora aún mejor que antes, esto no nos llevará apenas tiempo. Al igual que como ocurría con la dama, una reflexión interesante es que si es imposible que el caballo ataque, en este caso digamos, las 64 casillas del tablero a la vez, entonces es seguro que hay al menos dos casillas en las que el caballo ataca el mismo número de casillas. De nuevo, con esta idea presente trataremos de localizar las casillas que son "lo mismo" para que podamos contar de "lo mismo" en "lo mismo". 

Como podemos observar en el diagrama, el caballo en a1 solo ataca 2 casillas, pero esta vez a medida que subimos por a2, a3 y a4 se va activando algo más. En concreto, en a2 ataca 3 casillas mientras que en a3 y a4 llega a las 4. Si ahora nos situamos en b2, observaremos que desde ahí el caballo amenaza 4 casillas, mientras que si subimos hasta b3 o b4 conseguirá amenazar 6. De la misma forma que razonábamos antes, ni girar el tablero ni mirar su reflejo va a cambiar el número de casillas que ataca el caballo (ni ninguna otra pieza), por lo tanto, de momento podríamos distinguir 4 tipos de casillas.


Casillas a1, a2, a3, a4, b2, b3, b4 y sus rotaciones de 90º


Imágenes espaculares de a1, a2, a3, a4, b2, b3, b4 y sus rotaciones


Donde el caballo puede atacar 2, 3, 4 o 6 casillas









Por último, como las 16 casillas centrales que quedan están separadas por dos o más casillas de los límites del tablero, permiten que el caballo haga todos sus movimientos posibles, que son 8. 


Ningún movimiento está limitado por el tablero


De esta forma, rápidamente podemos llegar a la conclusión de que en total en el tablero pueden diferenciarse 5 tipos de casillas en base a este criterio.


5 tipos de casillas para el caballo


  4 casillas verdes desde las que el caballo ataca 2 casillas.

  8 casillas azules desde las que el caballo ataca 3 casillas.

  20 casillas amarillas desde las que el caballo ataca 4 casillas.

  16 casillas rojas desde las que el caballo ataca 6 casillas.

  16 casillas centrales desde las que el caballo ataca 8 casillas.



Recapitulando: 

Si estuviera el caballo en a1, hay 2 posiciones en las que la dama quedaría atacada, y esto ocurre en cada una de las casillas verdes, si las contamos serían 4 veces 2, esto es 8.

Si estuviera el caballo en a2, hay 3 posiciones en las que la dama quedaría atacada, y esto ocurre en cada una de las casillas azules, si las contamos serían 8 veces 3, esto es 24.

Si estuviera el caballo en b2, hay 4 posiciones en las que la dama quedaría atacada, y esto ocurre en cada una de las casillas amarillas, si las contamos serían 20 veces 4, esto es 80.

Si estuviera el caballo en b3, hay 6 posiciones en las que la dama quedaría atacada, y esto ocurre en cada una de las casillas rojas, si las contamos serían 16 veces 6, esto es 96.

Si estuviera el caballo en c3, hay 8 posiciones en las que la dama quedaría atacada, y esto ocurre en cada una de las casillas centrales, si las contamos serían 16 veces 8, esto es 128.

En total serían 33‌6 posiciones en las que el caballo ataca a la dama, y ojo que sigo sin sumar eh, solo estoy contando hacia delante. 

     2.3. Posiciones en las que la dama y el caballo se atacan mutuamente:

Esto consistirá básicamente en contar en cuántas posiciones la dama ataca al caballo y al mismo tiempo el caballo ataca a la dama. Para que una pieza esté atacada por la dama ambas tienen que estar en la misma fila, columna o diagonal. Por otra parte para que una pieza esté atacada por el caballo ambas tienen que estar en diferente fila, diferente columna y en casillas de distinto color. Como si dos filas o dos columnas son diferentes, no son la misma, y como si dos casillas son de distinto color, no pueden estar en la misma diagonal, entonces un caballo y una dama no pueden atacarse mutuamente. Esto son un total de 0 posiciones, y ojo que no es que no esté haciendo nada eh, estoy contando 0. 


Casillas atacadas por la dama en un cuadrado de 25 escaques

Casillas atacadas por el caballo en un cuadrado de 25 escaques



Esta complementariedad en los movimientos podría ayudar a explicar por qué en algunas situaciones el caballo y la dama coordinan tan bien.





3. Resultado:

Habíamos dicho que la probabilidad la calculábamos como (nº casos favorables / nº casos posibles). Para los casos favorables teníamos que contar las posiciones en las que la dama ataca al caballo, que eran 1456, a partir de ahí contar hacia delante 336, que eran las posiciones en las que el caballo atacaba a la dama, y por último contar 0 hacia atrás, para descontar las posiciones de ataque mutuo que las estaríamos contando dos veces. El resultado que nos queda es 1792, como los casos posibles eran 4032, tenemos que la probabilidad es (1792 / 4032)... ¿Lo notáis verdad? ¡Exacto, ahí hay algo que es lo mismo! Y es que cuando contamos 1792 o 4032 en realidad estamos contando de 448 en 448 ¿cuántas veces? Pues en el primer caso 4 y en el segundo 9, por lo que ahora sí la probabilidad que estábamos buscando es (1792 / 4032) = 4/9 , y ojo que no estamos sacando factor común eh, terminamos como empezamos, contando ;)

*Otros resultados:

Una vez resuelto el problema para dama y caballo es muy sencillo resolverlo para otras combinaciones de dos piezas. Por ejemplo, para dama y cualquier otra pieza que no sea el caballo, como el movimiento de la dama dominará al de esta otra pieza, el número de posiciones en las que la otra pieza ataca a la dama (que contábamos) coincidirá con el número de posiciones en las que ambas se atacan mutuamente (que descontábamos), por lo que para contar el número de casos favorables solo habrá que contar las posiciones en las que la dama ataca a la otra pieza, que ya sabemos que son 1456. Por la misma razón, como toda pieza domina su propio movimiento, cuando consideremos dos piezas iguales (pero distinguibles) bastará con contar los casos favorables de una de ellas. Por último, ya mencionamos que el número de casillas que ataca la torre es el mismo en cualquier parte del tablero, por lo que contar las posiciones en las que la torre ataca a otra pieza es trivial (64 veces 14), y como el movimiento del alfil es el que diferencia a una dama de una torre, para calcular las posiciones en las que el alfil ataca a otra pieza, bastará con descontar a las posiciones de la dama, las de la torre (de hecho también bastaría con descontar a las de la torre las del caballo, pero eso no es tan evidente). Todo esto podrá recogerse en una bonita matriz, siempre hay que terminar con una matriz, y a poder ser, diagonalizable.


  Dama       Torre       Alfil       Caballo

                                      Dama     (13/36)    (13/36)   (13/36)      (4/9)

                                      Torre      (13/36)     (2/9)     (13/36)    (11/36)

                                       Alfil      (13/36)    (13/36)    (5/36)       (2/9)

                                   Caballo      (4/9)       (11/36)    (2/9)       (1/12)



Si te ha gustado, cuéntamelo, 

si te ha horrorizado, no me lo tengas en cuenta, 

y en cualquier caso, ¡cuenta conmigo! 






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